多项式拟合正弦函数
一、实验过程
实验目的
掌握最小二乘法求解（无惩罚项的损失函数）、掌握加惩罚项（2 范数）的损失函数优化、梯度下降法、共轭梯度法、理解过拟合、克服过拟合的方法(如加惩罚项、增加样本)
实验要求
生成数据，加入噪声；
用高阶多项式函数拟合曲线；
用解析解求解两种 loss 的最优解（无正则项和有正则项）；
优化方法求解最优解（梯度下降，共轭梯度）；
用你得到的实验数据，解释过拟合。
用不同数据量，不同超参数，不同的多项式阶数，比较实验效果。
语言不限，可以用 matlab，python。求解解析解时可以利用现成的矩阵求逆。梯度下降，共轭梯度要求自己求梯度，迭代优化自己写。不许用现成的平台，例如 pytorch，tensorflow 的自动微分工具。
实验环境
OS： Windows 11
Python： 3.7.9
设计思想
生成数据并加入噪声
利用高阶多项式函数拟合曲线（无正则项）
代入 即可得到 获得拟合曲线。
利用高阶多项式函数拟合曲线（有正则项）
通过正则化减轻过拟合影响，为误差函数增加一个惩罚项如下：
代入
梯度下降法求解最优解
在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向；对应的，梯度的反方向就是给定点的下降最快的方向。梯度下降公式为 ，其中 为学习率或步长对有惩罚项的误差函数：
共轭梯度法求解最优解
考虑线性对称正定方程组： 构造二次函数：
对其求导得：
则求 的解即为求函数
直到满足精度，退出循环，得到
二、实验结果分析
不带正则项的解析解
- 在 1 阶时，无法拟合，属于欠拟合，需要提高阶数；
- 在 3 阶时，拟合效果较好，阶数提高到 5 阶，拟合效果更好；
- 阶数提高到 9 阶，拟合函数图像能穿过大多数训练集上的点，但波动较大，出现过拟合现象。
可以通过增加训练集大小降低过拟合的影响：
设定阶数为 9 阶，在训练集大小分别为 10，20，50，100 下拟合结果：
随着训练集增大，过拟合现象逐渐消失，拟合函数很好的拟合到原函数上。
带正则项的解析解 取训练集大小为 10，验证集大小为 20，阶数为 9，确定最优
取 为 ，在训练集大小为 10 ，阶数为 9 的条件下的带惩罚项和不带惩罚项的拟合图像比较
可以看出，加入惩罚项有效降低过拟合现象。
梯度下降求得优化解
设定 为 ，学习率 为 0.01，（左图精度为 ，右图精度为 ）设定训练集大小为 10 ，在不同阶数下拟合函数：
阶数为 9：
设定阶数为 9，在不同训练集大小下拟合函数 训练集大小为 20：
训练集大小为 50：
精度升高，迭代次数变大；多项式阶增大，迭代次数呈现下降趋势；而训练集的大小对于迭代次数几乎没有影响，但仍然满足训练集越大拟合效果也好的结论。
共轭梯度求得优化解
设定 为 ，（左图精度为 ，右图精度为 ）设定训练集大小为 10 ，在不同阶数下拟合函数： 阶数为 3 ：
设定阶数为 9，在不同训练集大小下拟合函数 训练集大小为 20：
训练集大小为 50：
的右图的拟合效果并未显著强于精度为 下的拟合效果。
共轭梯度法的迭代次数受精度、多项式阶、训练集的大小的影响并不大，一直在
三、结论
在对正弦函数的多项式拟合中，不加惩罚项时，多项式的次数越高，拟合得越好，阶数较高时出现过拟合现象，是由于样本数量少但模型能力强，模型拟合结果过分依赖数据集，这种强拟合能力可能无法拟合出正弦曲线的效果。所以增大数据集可以有效地解决过拟合问题。
加入惩罚项后，过拟合现象得到改善。加入惩罚项可以有效地降低参数的绝对值，从而使模型复杂度与问题匹配。所以对于训练样本限制较多的问题，增加惩罚项是解决过拟合问题的有效手段。
在使用梯度下降时，由于我们的目标函数是二次的，只有一个极值点，即最值点，所以梯度下降的初值选取并不很重要。如果梯度下降步长设置的比较大，那么下降结果将在目标函数最值附近逐渐向上跳动，从而无法收敛。
梯度下降相比共轭梯度收敛速度很慢，迭代次数很大，而共轭梯度的稳定性较差，更容易出现过拟合现象，但对于数据量较大复杂度较高的情况，共轭梯度显然要比梯度下降来的更优。
四、参考文献
《模式识别与机器学习》
《机器学习》
参考文献
- 基于.NET的在线考试系统的设计与实现（吉林大学·杨雪洁）
- 偏微分方程有限差分法求解软件研发（宁夏大学·马天龙）
- 多维数据展现开发工具的设计与实现（山东大学·展鹏）
- 基于B/S的考卷搜索和标记系统的设计与实现（华中师范大学·沈亮）
- 多维数据展现开发工具的设计与实现（山东大学·展鹏）
- 基于J2EE网络考试系统的设计与实现（吉林大学·叶丽娜）
- 基于SSH框架的软件项目管理系统的设计与实现（北京邮电大学·王萌）
- 基于Web的负荷统计法建模平台（山东大学·刘晓宇）
- 基于行列转换的统计功能研究与应用（中国海洋大学·张娜）
- 双权重弹性网-逻辑回归多步筛选算法及其应用（中央财经大学·黄捷）
- 基于Q-learning的系统集成与过程优化（青岛科技大学·魏晓彤）
- 中学python课程知识图谱构建及应用研究（华中师范大学·黄健）
- 基于Web的微分方程自动求解系统的研究与开发（华东师范大学·杨乐）
- 基于J2EE的远程网络教育系统研究与实现（电子科技大学·陈南荪）
- 基于Java和Matlab的虚拟仿真实验系统的设计与实现（长江大学·喻盼）
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