机器学习算法 Python 实现

一、线性回归

全部代码

1、代价函数

其中：
下面就是要求出 theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近
共有 m 条数据，其中代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消
前面有系数 2 的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导， 2 可以消去
实现代码：

```

计算代价函数

def computerCost(X,y,theta): m = len(y) J = 0

J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
return J

```

注意这里的 X 是真实数据前加了一列 1，因为有 theta(0)

2、梯度下降算法

代价函数对求偏导得到：
所以对 theta 的更新可以写为：
其中为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取 0.01,0.03,0.1,0.3.....
为什么梯度下降可以逐步减小代价函数
假设函数 f(x)
泰勒展开： f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)
令： △x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长 α
将 △x 代入泰勒展开式中： f(x+x)=f(x)-α*[f'(x)]+o(△x)
可以看出， α 是取得很小的正数， [f'(x)] 也是正数，所以可以得出： f(x+△x)<=f(x)
所以沿着 负梯度 放下，函数在减小，多维情况一样。
实现代码

```

梯度下降算法

def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters): m = len(y)
n = len(theta)

temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters)))   # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式


J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值

for i in range(num_iters):  # 遍历迭代次数    
    h = np.dot(X,theta)     # 计算内积，matrix可以直接乘
    temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y)))   #梯度的计算
    theta = temp[:,i]
    J_history[i] = computerCost(X,y,theta)      #调用计算代价函数
    print '.',      
return theta,J_history

```

3、均值归一化

目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法
其中为所有此 feture 数据的平均值
可以是 最大值-最小值 ，也可以是这个 feature 对应的数据的 标准差
实现代码：

```

归一化feature

def featureNormaliza(X): X_norm = np.array(X) #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算 #定义所需变量 mu = np.zeros((1,X.shape[1]))
sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))

mu = np.mean(X_norm,0)          # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行）
sigma = np.std(X_norm,0)        # 求每一列的标准差
for i in range(X.shape[1]):     # 遍历列
    X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i]  # 归一化

return X_norm,mu,sigma

```

注意预测的时候也需要均值归一化数据

4、最终运行结果

代价随迭代次数的变化

5、使用 scikit-learn 库中的线性模型实现

导入包

from sklearn import linear_model from sklearn.preprocessing import StandardScaler #引入缩放的包

归一化

# 归一化操作 scaler = StandardScaler() scaler.fit(X) x_train = scaler.transform(X) x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))

线性模型拟合

# 线性模型拟合 model = linear_model.LinearRegression() model.fit(x_train, y)

预测

#预测结果 result = model.predict(x_test)

二、逻辑回归

全部代码

1、代价函数

可以综合起来为：其中：
为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
的图像如下，即 y=1 时：

可以看出，当趋于 1 ， y=1 ,与预测值一致，此时付出的代价 cost 趋于 0 ，若趋于 0 ， y=1 ,此时的代价 cost 值非常大，我们最终的目的是最小化代价值

同理的图像如下（ y=0 )：

2、梯度

同样对代价函数求偏导：可以看出与线性回归的偏导数一致
推到过程

3、正则化

目的是为了防止过拟合
在代价函数中加上一项
注意 j 是重 1 开始的，因为 theta(0)为一个常数项，X 中最前面一列会加上 1 列 1，所以乘积还是 theta(0),feature 没有关系，没有必要正则化
正则化后的代价：

```

代价函数

def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda): m = len(y) J = 0

h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))    # 计算h(z)
theta1 = initial_theta.copy()           # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 
theta1[0] = 0

temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m   # 正则化的代价方程
return J

```

正则化后的代价的梯度

```

计算梯度

def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda): m = len(y) grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))

h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
theta1 = initial_theta.copy()
theta1[0] = 0

grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
return grad

```

4、S 型函数（即 )

实现代码：

```

S型函数

def sigmoid(z): h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化，与z的长度一置

h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))
return h

```

5、映射为多项式

因为数据的 feture 可能很少，导致偏差大，所以创造出一些 feture 结合
eg:映射为 2 次方的形式:
实现代码：

```

映射为多项式

def mapFeature(X1,X2): degree = 3; # 映射的最高次方 out = np.ones((X1.shape[0],1)) # 映射后的结果数组（取代X） ''' 这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2 ''' for i in np.arange(1,degree+1): for j in range(i+1): temp = X1 (i-j)*(X2 j) #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.* out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1))) return out ```

6、使用 `scipy` 的优化方法

梯度下降使用 scipy 中 optimize 中的 fmin_bfgs 函数
调用 scipy 中的优化算法 fmin_bfgs（拟牛顿法 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
costFunction 是自己实现的一个求代价的函数，
initial_theta 表示初始化的值,
fprime 指定 costFunction 的梯度
args 是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化 costFunction 的 theta 返回

result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))

7、运行结果

data1 决策边界和准确度
data2 决策边界和准确度

8、使用 scikit-learn 库中的逻辑回归模型实现

导入包

from sklearn.linear_model import LogisticRegression from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.cross_validation import train_test_split import numpy as np

划分训练集和测试集

# 划分为训练集和测试集 x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)

归一化

# 归一化 scaler = StandardScaler() scaler.fit(x_train) x_train = scaler.fit_transform(x_train) x_test = scaler.fit_transform(x_test)

逻辑回归

#逻辑回归 model = LogisticRegression() model.fit(x_train,y_train)

预测

``` # 预测 predict = model.predict(x_test) right = sum(predict == y_test)

predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))   # 将预测值和真实值放在一块，好观察
print predict
print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0]))          #计算在测试集上的准确度

```

逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

全部代码

1、随机显示 100 个数字

我没有使用 scikit-learn 中的数据集，像素是 20*20px，彩色图如下灰度图：
实现代码：

```

显示100个数字

def display_data(imgData): sum = 0 ''' 显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可） - 初始化一个二维数组 - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组 - 显示即可 ''' pad = 1 display_array = -np.ones((pad+10 (20+pad),pad+10 (20+pad))) for i in range(10): for j in range(10): display_array[pad+i (20+pad):pad+i (20+pad)+20,pad+j (20+pad):pad+j (20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F")) # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行 sum += 1

plt.imshow(display_array,cmap='gray')   #显示灰度图像
plt.axis('off')
plt.show()

```

2、OneVsAll

如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll 就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了
如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推...
可以看出大于 2 类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类

3、手写数字识别

共有 0-9，10 个数字，需要 10 次分类
由于 数据集 y 给出的是 0,1,2...9 的数字，而进行逻辑回归需要 0/1 的 label 标记，所以需要对 y 处理
说一下数据集，前 500 个是 0 , 500-1000 是 1 , ... ,所以如下图，处理后的 y ， 前 500 行的第一列是 1，其余都是 0,500-1000 行第二列是 1，其余都是 0....
然后调用 梯度下降算法 求解 theta
实现代码：

```

求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta

def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda): # 初始化变量 m,n = X.shape all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列对应相应分类的theta,共10列 X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) # X前补上一列1的偏置bias class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一个分类的theta

# 映射y
for i in range(num_labels):
    class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

#np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')

'''遍历每个分类，计算对应的theta值'''
for i in range(num_labels):
    result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法
    all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1)   # 放入all_theta中

all_theta = np.transpose(all_theta) 
return all_theta

```

4、预测

之前说过，预测的结果是一个 概率值 ，利用学习出来的 theta 代入预测的 S 型函数 中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为 0 的将 y 映射在第一列，为 1 的映射在第二列，依次类推
实现代码：

```

预测

def predict_oneVsAll(all_theta,X): m = X.shape[0] num_labels = all_theta.shape[0] p = np.zeros((m,1)) X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) #在X最前面加一列1

h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta)))  #预测

'''
返回h中每一行最大值所在的列号
- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
- 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
'''
p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))  
for i in np.arange(1, m):
    t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
    p = np.vstack((p,t))
return p

```

5、运行结果

10 次分类，在训练集上的准确度：

6、使用 scikit-learn 库中的逻辑回归模型实现

1、导入包

from scipy import io as spio import numpy as np from sklearn import svm from sklearn.linear_model import LogisticRegression

2、加载数据

data = loadmat_data("data_digits.mat") X = data['X'] # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px y = data['y'] # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1) y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)

3、拟合模型

model = LogisticRegression() model.fit(X, y) # 拟合

4、预测

``` predict = model.predict(X) #预测

print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)

```

5、输出结果（在训练集上的准确度）

三、BP 神经网络

全部代码

1、神经网络 model

先介绍个三层的神经网络，如下图所示
输入层（input layer）有三个 units（为补上的 bias，通常设为 1 )
表示第 j 层的第 i 个激励，也称为为单元 unit
为第 j 层到第 j+1 层映射的权重矩阵，就是每条边的权重
所以可以得到：
隐含层：
输出层其中， S 型函数 ，也成为 激励函数
可以看出为 3x4 的矩阵，为 1x4 的矩阵
==》 j+1 的单元数 x（ j 层的单元数 +1)

2、代价函数

假设最后输出的，即代表输出层有 K 个单元
其中，代表第 i 个单元输出
与逻辑回归的代价函数差不多，就是累加上每个输出（共有 K 个输出)

3、正则化

L --> 所有层的个数
--> 第 l 层 unit 的个数
正则化后的 代价函数 为
共有 L-1 层，
然后是累加对应每一层的 theta 矩阵，注意不包含加上偏置项对应的 theta(0)
正则化后的代价函数实现代码：

```

代价函数

def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda): length = nn_params.shape[0] # theta的中长度 # 还原theta1和theta2 Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size (input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1) Theta2 = nn_params[hidden_layer_size (input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)

# np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')

m = X.shape[0]
class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
# 映射y
for i in range(num_labels):
    class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''    
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
# 正则化向theta^2
term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))

'''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))      
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))    
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h  = sigmoid(z3)    
'''代价'''    
J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m

return np.ravel(J)

```

4、反向传播 BP

上面正向传播可以计算得到 J(θ) ,使用梯度下降法还需要求它的梯度
BP 反向传播的目的就是求代价函数的梯度
假设 4 层的神经网络, 记为--> l 层第 j 个单元的误差
没有，因为对于输入没有误差
反向传播计算梯度的过程为：
最后，即得到代价函数的梯度
实现代码：

```

梯度

def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda): length = nn_params.shape[0] Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size (input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1).copy() # 这里使用copy函数，否则下面修改Theta的值，nn_params也会一起修改 Theta2 = nn_params[hidden_layer_size (input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1).copy() m = X.shape[0] class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
# 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]

Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape))  #第一层到第二层的权重
Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape))  #第二层到第三层的权重


'''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h  = sigmoid(z3)


'''反向传播，delta为误差，'''
delta3 = np.zeros((m,num_labels))
delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
for i in range(m):
    #delta3[i,:] = (h[i,:]-class_y[i,:])*sigmoidGradient(z3[i,:])  # 均方误差的误差率
    delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]                              # 交叉熵误差率
    Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
    delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
    Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))

Theta1[:,0] = 0
Theta2[:,0] = 0          
'''梯度'''
grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
return np.ravel(grad)

```

5、BP 可以求梯度的原因

实际是利用了 链式求导 法则
因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的 y 非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。
求误差更详细的推导过程：

6、梯度检查

检查利用 BP 求的梯度是否正确
利用导数的定义验证：
求出来的数值梯度应该与 BP 求出的梯度非常接近
验证 BP 正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
实现代码：

```

检验梯度是否计算正确

def checkGradient(Lambda = 0): '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了''' input_layer_size = 3 hidden_layer_size = 5 num_labels = 3 m = 5 initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels) X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m) y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y

y = y.reshape(-1,1)
nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1)))  #展开theta 
'''BP求出梯度'''
grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, 
                 num_labels, X, y, Lambda)  
'''使用数值法计算梯度'''
num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
e = 1e-4
for i in range(nn_params.shape[0]):
    step[i] = e
    loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                          num_labels, X, y, 
                          Lambda)
    loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                          num_labels, X, y, 
                          Lambda)
    num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
    step[i]=0
# 显示两列比较
res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
print res

```

7、权重的随机初始化

神经网络不能像逻辑回归那样初始化 theta 为 0 ,因为若是每条边的权重都为 0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。
所以应该初始化为接近 0 的数
实现代码

```

随机初始化权重theta

def randInitializeWeights(L_in,L_out): W = np.zeros((L_out,1+L_in)) # 对应theta的权重 epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in)) 0.5 W = np.random.rand(L_out,1+L_in) 2 epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵 return W ```

8、预测

正向传播预测结果
实现代码

```

预测

def predict(Theta1,Theta2,X): m = X.shape[0] num_labels = Theta2.shape[0] #p = np.zeros((m,1)) '''正向传播，预测结果''' X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1))) h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1)) h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))

'''
返回h中每一行最大值所在的列号
- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
- 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
'''
#np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))  
for i in np.arange(1, m):
    t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
    p = np.vstack((p,t))
return p

```

9、输出结果

梯度检查：
随机显示 100 个手写数字
显示 theta1 权重
训练集预测准确度
归一化后训练集预测准确度

四、SVM 支持向量机

1、代价函数

在逻辑回归中，我们的代价为：
如图所示，如果 y=1 ， cost 代价函数如图所示
当 y=0 时同样，用代替
最终得到的代价函数为：最后我们想要
之前我们逻辑回归中的代价函数为：可以认为这里的，只是表达形式问题，这里 C 的值越大，SVM 的决策边界的 margin 也越大，下面会说明

2、Large Margin

如下图所示,SVM 分类会使用最大的 margin 将其分开
先说一下向量内积
向量V 在 向量u 上的投影的长度记为 p ，则：向量内积：根据向量夹角公式推导一下即可，
前面说过，当 C 越大时， margin 也就越大，我们的目的是最小化代价函数 J(θ) ,当 margin 最大时， C 的乘积项要很小，所以近似为：，我们最后的目的就是求使代价最小的 θ
由可以得到：， p 即为 x 在 θ 上的投影
如下图所示，假设决策边界如图，找其中的一个点，到 θ 上的投影为 p ,则或者，若是 p 很小，则需要很大，最后求的是 large margin

3、SVM Kernel（核函数）

假设如图几个点，

令

高斯核函数的 σ 越小， f 下降的越快
最小化 J 求出 θ ，
如果，==》预测 y=1

4、使用 `scikit-learn` 中的 `SVM` 模型代码

全部代码
线性可分的,指定核函数为 linear ：

``` '''data1——线性分类''' data1 = spio.loadmat('data1.mat') X = data1['X'] y = data1['y'] y = np.ravel(y) plot_data(X,y)

model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数

```

非线性可分的，默认核函数为 rbf

``` '''data2——非线性分类''' data2 = spio.loadmat('data2.mat') X = data2['X'] y = data2['y'] y = np.ravel(y) plt = plot_data(X,y) plt.show()

model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y)     # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好

```

5、运行结果

线性可分的决策边界：
线性不可分的决策边界：

五、K-Means 聚类算法

全部代码

1、聚类过程

聚类属于无监督学习，不知道 y 的标记分为 K 类
K-Means 算法分为两个步骤
第一步：簇分配，随机选 K 个点作为中心，计算到这 K 个点的距离，分为 K 个簇
第二步：移动聚类中心：重新计算每个簇的中心，移动中心，重复以上步骤。
如下图所示：
随机分配的聚类中心

- 重新计算聚类中心，移动一次 - 最后 10 步之后的聚类中心 - 计算每条数据到哪个中心最近实现代码：

```

找到每条数据距离哪个类中心最近

def findClosestCentroids(X,initial_centroids): m = X.shape[0] # 数据条数 K = initial_centroids.shape[0] # 类的总数 dis = np.zeros((m,K)) # 存储计算每个点分别到K个类的距离 idx = np.zeros((m,1)) # 要返回的每条数据属于哪个类

'''计算每个点到每个类中心的距离'''
for i in range(m):
    for j in range(K):
        dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1))

'''返回dis每一行的最小值对应的列号，即为对应的类别
- np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值
- np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标
 - 注意：可能最小值对应的坐标有多个，where都会找出来，所以返回时返回前m个需要的即可（因为对于多个最小值，属于哪个类别都可以）
'''  
dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1))
return idx[0:dis.shape[0]]  # 注意截取一下

```

计算类中心实现代码：

```

计算类中心

def computerCentroids(X,idx,K): n = X.shape[1] centroids = np.zeros((K,n)) for i in range(K): centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1) # 索引要是一维的,axis=0为每一列，idx==i一次找出属于哪一类的，然后计算均值 return centroids ```

2、目标函数

也叫做 失真代价函数
最后我们想得到：
其中表示第 i 条数据距离哪个类中心最近，
其中即为聚类的中心

3、聚类中心的选择

随机初始化，从给定的数据中随机抽取 K 个作为聚类中心
随机一次的结果可能不好，可以随机多次，最后取使代价函数最小的作为中心
实现代码：(这里随机一次)

```

初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心

def kMeansInitCentroids(X,K): m = X.shape[0] m_arr = np.arange(0,m) # 生成0-m-1 centroids = np.zeros((K,X.shape[1])) np.random.shuffle(m_arr) # 打乱m_arr顺序
rand_indices = m_arr[:K] # 取前K个 centroids = X[rand_indices,:] return centroids ```

4、聚类个数 K 的选择

聚类是不知道 y 的 label 的，所以不知道真正的聚类个数
肘部法则（Elbow method）
作代价函数 J 和 K 的图，若是出现一个拐点，如下图所示， K 就取拐点处的值，下图此时 K=3
若是很平滑就不明确，人为选择。
第二种就是人为观察选择

5、应用——图片压缩

将图片的像素分为若干类，然后用这个类代替原来的像素值
执行聚类的算法代码：

```

聚类算法

def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process): m,n = X.shape # 数据条数和维度 K = initial_centroids.shape[0] # 类数 centroids = initial_centroids # 记录当前类中心 previous_centroids = centroids # 记录上一次类中心 idx = np.zeros((m,1)) # 每条数据属于哪个类

for i in range(max_iters):      # 迭代次数
    print u'迭代计算次数：%d'%(i+1)
    idx = findClosestCentroids(X, centroids)
    if plot_process:    # 如果绘制图像
        plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程
        previous_centroids = centroids  # 重置
    centroids = computerCentroids(X, idx, K)    # 重新计算类中心
if plot_process:    # 显示最终的绘制结果
    plt.show()
return centroids,idx    # 返回聚类中心和数据属于哪个类

```

6、使用 scikit-learn 库中的线性模型实现聚类

导入包

from sklearn.cluster import KMeans

使用模型拟合数据

model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类，拟合数据

聚类中心

centroids = model.cluster_centers_ # 聚类中心

7、运行结果

二维数据类中心的移动
图片压缩

六、PCA 主成分分析（降维）

全部代码

1、用处

数据压缩（Data Compression）,使程序运行更快
可视化数据，例如 3D-->2D 等
......

2、2D-->1D，nD-->kD

如下图所示，所有数据点可以投影到一条直线，是 投影距离的平方和 （投影误差）最小
注意数据需要 归一化 处理
思路是找 1 个 向量u ,所有数据投影到上面使投影距离最小
那么 nD-->kD 就是找 k 个向量，所有数据投影到上面使投影误差最小
eg:3D-->2D,2 个向量就代表一个平面了，所有点投影到这个平面的投影误差最小即可

3、主成分分析 PCA 与线性回归的区别

线性回归是找 x 与 y 的关系，然后用于预测 y
PCA 是找一个投影面，最小化 data 到这个投影面的投影误差

4、PCA 降维过程

数据预处理（均值归一化）
就是减去对应 feature 的均值，然后除以对应特征的标准差（也可以是最大值-最小值）
实现代码：

``` # 归一化数据 def featureNormalize(X): '''（每一个数据-当前列的均值）/当前列的标准差''' n = X.shape[1] mu = np.zeros((1,n)); sigma = np.zeros((1,n))

   mu = np.mean(X,axis=0)
   sigma = np.std(X,axis=0)
   for i in range(n):
       X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]
   return X,mu,sigma

```

注意这里的 Σ 和求和符号不同
协方差矩阵 对称正定 （不理解正定的看看线代）
大小为 nxn , n 为 feature 的维度
实现代码：

Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m # 求Sigma

计算 Σ 的特征值和特征向量
可以是用 svd 奇异值分解函数： U,S,V = svd(Σ)
返回的是与 Σ 同样大小的对角阵 S （由 Σ 的特征值组成）[ 注意： matlab 中函数返回的是对角阵，在 python 中返回的是一个向量，节省空间]
还有两个 酉矩阵 U 和 V
注意： svd 函数求出的 S 是按特征值降序排列的，若不是使用 svd ,需要按 特征值 大小重新排列 U
降维
选取 U 中的前 K 列（假设要降为 K 维）
Z 就是对应降维之后的数据
实现代码：

``` # 映射数据 def projectData(X_norm,U,K): Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))

   U_reduce = U[:,0:K]          # 取前K个
   Z = np.dot(X_norm,U_reduce) 
   return Z

```

过程总结：
Sigma = X'*X/m
U,S,V = svd(Sigma)
Ureduce = U[:,0:k]
Z = Ureduce'*x

5、数据恢复

实现代码：

# 恢复数据 def recoverData(Z,U,K): X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0])) U_recude = U[:,0:K] X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude)) # 还原数据（近似） return X_rec

6、主成分个数的选择（即要降的维度）

如何选择
误差率一般取 1%，5%，10% 等
如何实现
若是一个个试的话代价太大
可以一点点增加 K 尝试。

7、使用建议

不要使用 PCA 去解决过拟合问题 Overfitting ，还是使用正则化的方法（如果保留了很高的差异性还是可以的）
只有在原数据上有好的结果，但是运行很慢，才考虑使用 PCA

8、运行结果

2 维数据降为 1 维
要投影的方向
2D 降为 1D 及对应关系
人脸数据降维
原始数据
可视化部分 U 矩阵信息

- 恢复数据

9、使用 scikit-learn 库中的 PCA 实现降维

导入需要的包：

```

- - coding: utf-8 - -

Author:bob

Date:2016.12.22

import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt from scipy import io as spio from sklearn.decomposition import pca from sklearn.preprocessing import StandardScaler ```

归一化数据

'''归一化数据并作图''' scaler = StandardScaler() scaler.fit(X) x_train = scaler.transform(X)

使用 PCA 模型拟合数据，并降维
n_components 对应要将的维度

'''拟合数据''' K=1 # 要降的维度 model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train) # 拟合数据，n_components定义要降的维度 Z = model.transform(x_train) # transform就会执行降维操作

数据恢复
model.components_ 会得到降维使用的 U 矩阵

'''数据恢复并作图''' Ureduce = model.components_ # 得到降维用的Ureduce x_rec = np.dot(Z,Ureduce) # 数据恢复

七、异常检测 Anomaly Detection

全部代码

1、高斯分布（正态分布） `Gaussian distribution`

其中， u 为数据的均值， σ 为数据的 标准差
σ 越小，对应的图像越尖

2、异常检测算法

例子
计算 p(x) ,若是 P(x)<ε 则认为异常，其中 ε 为我们要求的概率的临界值 threshold
这里只是 单元高斯分布 ，假设了 feature 之间是独立的，下面会讲到 多元高斯分布 ，会自动捕捉到 feature 之间的关系
参数估计 实现代码

```

参数估计函数（就是求均值和方差）

def estimateGaussian(X): m,n = X.shape mu = np.zeros((n,1)) sigma2 = np.zeros((n,1))

mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列，每列的均值
sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差
return mu,sigma2

```

3、评价 `p(x)` 的好坏，以及 `ε` 的选取

对 偏斜数据 的错误度量
因为数据可能是非常偏斜的（就是 y=1 的个数非常少，( y=1 表示异常)），所以可以使用 Precision/Recall ，计算 F1Score (在 CV 交叉验证集 上)
例如：预测癌症，假设模型可以得到 99% 能够预测正确， 1% 的错误率，但是实际癌症的概率很小，只有 0.5% ，那么我们始终预测没有癌症 y=0 反而可以得到更小的错误率。使用 error rate 来评估就不科学了。
如下图记录：
还是以癌症预测为例，假设预测都是 no-cancer，TN=199，FN=1，TP=0，FP=0，所以：Precision=0/0，Recall=0/1=0，尽管 accuracy=199/200=99.5%，但是不可信。
ε 的选取
尝试多个 ε 值，使 F1Score 的值高
实现代码

```

选择最优的epsilon，即：使F1Score最大

def selectThreshold(yval,pval): '''初始化所需变量''' bestEpsilon = 0. bestF1 = 0. F1 = 0. step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000 '''计算''' for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step): cvPrecision = pval bestF1: # 修改最优的F1 Score bestF1 = F1 bestEpsilon = epsilon return bestEpsilon,bestF1 ```

4、选择使用什么样的 feature（单元高斯分布）

如果一些数据不是满足高斯分布的，可以变化一下数据，例如 log(x+C),x^(1/2) 等
如果 p(x) 的值无论异常与否都很大，可以尝试组合多个 feature ,(因为 feature 之间可能是有关系的)

5、多元高斯分布

单元高斯分布存在的问题
如下图，红色的点为异常点，其他的都是正常点（比如 CPU 和 memory 的变化）
x1 对应的高斯分布如下：
x2 对应的高斯分布如下：
可以看出对应的 p(x1)和 p(x2)的值变化并不大，就不会认为异常
因为我们认为 feature 之间是相互独立的，所以如上图是以正圆的方式扩展
例如：

表示 x1,x2 正相关 ，即 x1 越大，x2 也就越大，如下图，也就可以将红色的异常点检查出了若：表示 x1,x2 负相关 - 实现代码：

```

多元高斯分布函数

def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2): k = len(mu) if (Sigma2.shape[0]>1): Sigma2 = np.diag(Sigma2) '''多元高斯分布函数'''
X = X-mu argu = (2 np.pi) (-k/2) np.linalg.det(Sigma2) (-0.5) p = argu np.exp(-0.5 np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1)) # axis表示每行 return p ```