一、线性回归和逻辑回归

（一）什么是机器学习

利用大量的数据样本，使得计算机通过不断的学习获得一个模型，用来对新的未知数据做预测。

有监督学习（分类、回归）

同时将数据样本和标签输入给模型，模型学习到数据和标签的映射关系，从而对新数据进行预测。

分类问题（监督学习）

根据数据样本上抽出的特征，判断其属于有限个类别中的哪一个。
- 垃圾邮件识别（结果类别：1、垃圾邮件 2、正常邮件）
- 文本情感褒贬分析（结果类别：1、褒义 2、贬义）
- 图像内容识别（结果类别：1、喵星人 2、汪星人 3、人类 4、草泥马 5、都不是）
- 回归问题（监督问题）
根据数据样本上抽出的特征，预测连续值结果。
- 《芳华》票房值
- 魔都房价具体值
- 刘德华和吴彦祖具体颜值得分
- 无监督学习（聚类）

只有数据，没有标签，模型通过总结规律，从数据中挖掘出信息。

聚类问题（无监督学习）

根据数据样本上抽取出的特征，挖掘数据的关联模式
- 相似用户挖掘/社区发现
- 新闻聚类
- 强化问题
研究如何给予环境而行动，以取得最大化的预期利益
- 游戏（"吃鸡"）最高得分
- 机器人完成任务
- 强化学习

强化学习会在任何没有标签的情况下，通过先尝试作出一些行为得到一个结果，通过这个结果是对是错的反馈，调整之前的行为，就这样不断的调整，算法能够学习到，在什么样的情况下选择什么样的行为可以得到最好的结果。

就好比你有一只还没有训练好的小狗，每当他把屋子弄乱后，就减少美味食物的数量（惩罚），每次表现不错时，就加倍美味食物的数量（奖励），那么小狗最终回学到一个知识，就是把客厅弄乱是不好的行为。

（二）线性回归

利用大量的样本，通过有监督的学习，学习到由 x 到 y 的映射，利用该映射关系对未知数据进行预估，因为 y 为连续值，所以是回归问题。

单变量情况

y=ax+b + 多变量情况

二维空间的直线，转化为高位空间的平面

2.1 线性回归的表达式

机器学习是数据驱动的算法，数据驱动=数据 + 模型，模型就是输入到输出的映射关系。

模型=假设函数（不同的学习方式）+ 优化

假设函数

线性回归假设函数（$\theta_{0}$ 表示截距项，$x_{0}=1$ ，方便矩阵表达）

$$ f(x)=\theta_{0}x_{0}+\theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2}...+\theta_{n}x_{n}$$

向量形式（$\theta,x$都是列向量）

$$f(x)=\theta^Tx $$ 2. 优化方法

监督学习的优化方法=损失函数 + 对损失函数的优化 3. 损失函数

如何衡量以后的参数$\theta$ 的好坏？

利用损失函数来衡量，损失函数度量预测值和标准答案的偏差，不同的参数有不同的偏差，所以要通过最小化损失函数，也就是最小化偏差来得到最好的参数。

映射函数：$h_{\theta}$

损失函数：$J(\theta_{1},\theta_{2},...,\theta_{n})=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h_{\theta}(x^{(i)}-y^{(i)})^2$

解释：因为有 m 个样本，所以要平均，分母的 2 是为了求导方便

损失函数：凸函数 4. 损失函数的优化

损失函数是一个凸函数，我们的目标是到达最低点，也就是是的损失函数最小。

多元情况下容易出现局部极值。

求极值的数学思想，对公式求导=0 即可得到极值，但是工业上计算量很大，公式很复杂，所以从计算机的角度来讲，求极值是利用梯度下降法。

梯度下降
- 逐步最小化损失函数的过程
- 如同下山，找准方向（斜率），每次迈进一小步，直至山底。
- 初始位置选取很重要
- 复梯度方向更新，二维情况下，函数变换最快的方向是斜率方向，多维情况下就称为梯度，梯度表示函数值增大的最快方向，所以要在负梯度方向上进行迭代
  
  $$ \theta_{1}:=\theta_{1}-\alpha\frac{d}{d\theta_{1}}J(\theta_{1}) $$ + 高纬情况：梯度方向就是垂直于等高线的方向 + 学习率：
- 学习率太大，会跳过最低点，可能不收敛
- 学习率太小，收敛速度过慢
- 过拟合和欠拟合

过拟合的原因：

如果我们有很多的特征或模型很复杂，则假设函数曲线可以对训练样本拟合的非常好，学习能力太强了，但是丧失了一般性。
眼见不一定为实，训练样本中肯定存在噪声点，如果全都学习的话肯定会将噪声也学习进去

过拟合造成什么结果：

过拟合是给参数的自由空间太大了，可以通过简单的方式让参数变化太快，并未学习到底层的规律，模型都懂太大，很不稳定，variance 变大，对新数据没有泛化能力。
利用正则化解决过拟合问题

正则化的作用：

控制参数变化幅度，对变化大的参数惩罚
限制参数搜索空间

添加正则化的损失函数：

$$ J(\theta_{0},\theta_{1},...\theta_{n})=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h_{\theta}(x^{(i)}-y^{(i)}+\frac{\lambda}{2m}_{j=1}^{n}\theta_{j}^{2}))+\frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_{j}^{2} $$

m: 样本有 m 个

n: n 个参数，对 n 个参数进行惩罚

$\lambda$ : 对误差的惩罚程度，$\lambda$ 越大对误差的惩罚越大，容易出现过拟合，$\lambda$ 越小，对误差的惩罚越小，对误差的容忍度越大，泛化能力好

（三）逻辑回归

监督学习，解决而分类问题。

分类的本质：在空间中找到一个决策边界来完成分类的决策

逻辑回归：线性回归可以预测连续值，但是不能解决分类问题，我们需要根据预测的结果判定其属于正类还是负类。所以逻辑回归就是将线性回归的$(-\infty,+\infty)$ 结果，通过 sigmoid 函数映射到(0, 1) 之间。

线性回归决策函数：$h_{\theta}(x)=\theta^Tx$

将其通过 sigmoid 函数，获得逻辑回归的决策函数：$h_{\theta}(x)=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}$

为什么使用 sigmoid 函数：

可以对$(-\infty,+\infty)$ 结果，映射到(0, 1)之间作为概率。
决策边界
数学特性好，求导容易：$g^`(z)=g(z)\cdot(1-g(z))$

3.1 逻辑回归的损失函数

线性回归的损失函数为平方损失函数，如果将其用于逻辑回归的损失函数，则其数学特性不好，有很多局部极小值，难以用梯度下降法求最优。

逻辑回归损失函数：对数损失函数

$$ Cost(h_{\theta}(x),y)=\left{\begin{matrix}-log(h_{\theta}(x))&if&y=1\-log(1-h_{\theta}(x))&if&y=0\end{matrix}\right.$$

解释：

如果一个样本为正样本，那么我们希望将其预测为正样本的概率p越大越好，也就是决策函数的值越大越好，则log p越大越好，逻辑回归的决策函数值就是样本为正的概率；

如果一个样本为负样本，那么我们希望将其预测为负样本的概率越大越好，也就是(1-p)越到越好，即log(1-p)越大越好。

为什要用log：

样本集中有很多样本，要求其概率连乘，概率为(0, 1)间的数，连乘越来越小，利用log变换将其变为连加，不会溢出，不会超出计算精度。

3.2 逻辑回归实现多分类

一对一

一对一分类，每两个类之间构建一个分类器，共需要$\frac{N(N-1)}{2}$ 个分类起

一对多

一对多分类起，每个分类器判断是三角形还是不是三角形，共需要N个分类器

（四）LR的特点

可解释性高，工业中可控度高

LR < SVM/GBDT/RandomForest ?
并不是，模型本身并没有好坏之分
- LR能以概率的形式输出结果，而非知识0，1的判定
- LR的可解释性强，可控度高
- 训练快，feature engineering之后效果赞
- 因为结果是概率，可以做ranking model
- 添加feature太简单
应用
- CTR预估/推荐系统的learning to rank/各种分类场景
- 某搜索引擎厂的广告CTR预估基线版是LR
- 某电商搜索排序/广告CTR预估基线版是LR
- 某电商的购物搭配推荐用了大量LR
- 某现在一天广告赚1000w+的新闻app排序基线是LR
LR 应用经验
假设只是看模型
- 选择合适的正则化(L1, L2, L1+L2)
- 正则化系数C
- 收敛的阀值e，迭代轮数
- 调整loss function给定不同权重
- Bagging或其他方式的模型融合
- 最优化算法的选择('newton-cg', 'lbfgs', 'liblinear', 'sag')
- 小样本liblinear, 大样本sag, 多分类newton-cg和lbfgs

（五）为什么逻辑回归比线性回归好

虽然逻辑回归能够用于分类，不过其本质还是线性回归。它尽在线性回归的基础上，在特征到结果的映射中加入了一层sigmoid函数（非线性）映射，即先把特征线性求和，然后使用sigmoid函数来预测。

这主要是由于线性回归在整个实数域内敏感度一致，而分类范围，需要在[0, 1]之内。而逻辑回归就是一种减小预测范围，将预测值线定位[0, 1]间的一种回归模型，其回归方程与回归曲线如下图所示。逻辑曲线在z=0时，十分敏感，在z>>0或z<<0处，都不敏感，将预测值线定位(0, 1)。

LR 在线性回归的实数范围输出值上施加sigmoid函数将值收敛到0～1范围，其目标函数也因此从差平方和函数变为堆书损失函数，以提供最优化所需到导数(sigmoid)函数是softmax函数的二元特例，其倒数均为函数值的f*(1-f)形式。请注意LR往往是解决二元0/1分类问题的，只是它和线性回归耦合太紧，不自觉地也关了个回归的名字。若要求多元分类，就要吧sigmoid换成大名顶顶的softmax了。
首先逻辑回归和线性回归首先都是广义的线性回归，其次经典线性模型的优化目标函数是最小二乘，二逻辑回归则是似然函数，宁外线性回归在整个实数域范围内进行预测，敏感度一致，而分类范围需要在[0, 1]。逻辑回归就是一种减小预测范围，将预测值限定为[0, 1]间的一种回归模型，因而对于这类问题来说，逻辑回归的鲁棒性比线性回归的要好。
逻辑回归的模型本质上是一个线性回归模型，逻辑回归都是以线性回归为理论支持的。但线性回归模型无法做到sigmoid的非线性形式，sigmoid可以轻松处理0/1分类问题。

（六）LR 和 SVM 的关系

LR和SVM都可以处理分类问题，且一般都用于处理线性而分类问题（在改进的情况下可以处理多分类问题）
两个方法都可以增加不同的正则化项，如L1、L2等等。所以在很多实验中，两种算法的结果是很接近的。

区别：

LR是参数模型，SVM是非参数模型。
从目标函数来看，区别在于逻辑回归采用的是logistical loss, SVM采用的是hinge loss, 这两个损失函数的目的都是增加对分裂影响较大的数据点的权重，减少与分裂关系较小的数据点的权重。
SVM的处理方法是只考虑support vectors, 也就是和分类最相关的少数点，去学习分类器。而逻辑回归通过非线性映射，大大减小了离分类平面较远的点的权重，相对提升了与分类最相关的数据点的权重。
逻辑回归相对来说模型更简单，好理解，特别是大规模线性分类时比较方便。而SVM的理解和优化相对来说复杂一些，SVM转化为对偶问题后，分类只需要计算与少数几个支持向量的距离，这个在进行复杂核函数计算时优势很明显，能够大大简化模型和计算。
logic能做的 SVM能做，但可能在准确率上又问题，SVM能做的logic做不了。