1. 实验目的
实现一个 k-means 算法和混合高斯模型,并且用 EM 算法估计模型中的参数。
2. 实验要求
- 用高斯分布产生 k 个高斯分布的数据(不同均值和方差)(其中参数自己设定)。
- 用 k-means 聚类,测试效果;
- 用混合高斯模型和你实现的 EM 算法估计参数,看看每次迭代后似然值变化情况,考察 EM 算法是否可以获得正确的结果(与你设定的结果比较)。
- 应用:可以 UCI 上找一个简单问题数据,用你实现的 GMM 进行聚类。
3. 设计思想
3.1 K-means 算法
k 均值聚类算法(k-means clustering algorithm)是一种迭代求解的聚类分析算法,其步骤是,预将数据分为 K 组,则随机选取 K 个对象作为初始的聚类中心,然后计算每个对象与各个种子聚类中心之间的距离,把每个对象分配给距离它最近的聚类中心。聚类中心以及分配给它们的对象就代表一个聚类。每分配一个样本,聚类的聚类中心会根据聚类中现有的对象被重新计算。这个过程将不断重复直到满足某个终止条件。终止条件可以是没有(或最小数目)对象被重新分配给不同的聚类,没有(或最小数目)聚类中心再发生变化,误差平方和局部最小。
算法为:先随机选取 K 个对象作为初始的聚类中心。然后计算每个对象与各个种子聚类中心之间的距离,把每个对象分配给距离它最近的聚类中心。聚类中心以及分配给它们的对象就代表一个聚类。一旦全部对象都被分配了,每个聚类的聚类中心会根据聚类中现有的对象被重新计算。这个过程将不断重复直到满足某个终止条件。终止条件可以是以下任何一个:
- 没有(或最小数目)对象被重新分配给不同的聚类。
- 没有(或最小数目)聚类中心再发生变化。
- 误差平方和局部最小。
3.2 GMM 算法
GMM,高斯混合模型,也可以简写为 MOG。高斯模型就是用高斯概率密度函数(正态分布曲线)精确地量化事物,将一个事物分解为若干的基于高斯概率密度函数(正态分布曲线)形成的模型。
GMM 相对 K-means 是比较复杂的 EM 算法的应用实现。与 K-means 不同的是,GMM 算法在 E 步时没有使用“最近距离法”来给每个样本赋类别(hard assignment),而是增加了隐变量 γ。γ 是(N,K)的矩阵, γ[N,K]表示第 n 个样本是第 k 类的概率,因此, 具有归一性。即 的每一行的元素的和值为 1。
GMM 算法是用混合高斯模型来描述样本的分布,因为在多类情境中,单一高斯分布肯定是无法描绘数据分布。多个高斯分布的简单叠加也无法描绘数据分布的。只有混合高斯分布才能较好的描绘一组由多个高斯模型产生的样本。对于样本中的任一个数据点,任一高斯模型能够产生该点的概率,也就是任一高斯模型对该点的生成的贡献(contribution)是不同的,但可以肯定的是,这些贡献的和值是 1。
4. 实验过程
4.1 算法设计
高斯分布参数:
E 步:
M 步:
极大似然估计:
4.2 实验结果
自生成数据,K-means:
自生成数据,GMM:
图中给出了每一阶段的样本分类情况和置信椭圆。
最后带有填充的透明置信椭圆为生成数据的真实椭圆。
5. 实验结论
K-means 和 GMM 都是 EM 算法的体现。两者共同之处都有隐变量,遵循 EM 算法的 E 步和 M 步的迭代优化。不同之处在于 K-means 给出了很多很强的假设,比如假设了所有聚类模型对总的贡献是相等的(平均的),假设一个样本由某一个特定聚类模型产生的概率是 1,其他为 0. 而 GMM 用混合高斯模型来描述聚类结果。假设多个高斯模型对总模型的贡献是有权重的,且样本属于某一类也是由概率的。两者都能较好的解决简单的分类问题,但存在着可能只取到局部最优的问题。
初值的选取对 K-means 和 GMM 的效果影响较大。K-means 的初值选取通常是给定聚类个数 k 和随机选取初始聚类中心。而对于 GMM 来说,如果初始高斯模型的均值和方差选取不好的话,可能会出现极大似然值为 0 的情况,即该样本几乎不可能由我们初始的高斯模型生成。另外在实验过程中还会出现协方差矩阵不可逆的情况。
参考文献
- 面向音乐协同过滤推荐的K-means聚类算法优化研究(内蒙古师范大学·纪文璐)
- 基于J2EE的数据挖掘系统的构建及聚类技术研究(天津大学·李国宇)
- 集成聚类算法及其在个性化推荐中的应用研究(西北师范大学·张腾)
- 农产品电子商务平台用户行为分析(安徽农业大学·吴波)
- 基于Spark的校园网用户行为分析与研究(广西大学·廖舒航)
- K-means聚类算法优化及其在电商平台精准营销中的应用研究(山东科技大学·韩琮师)
- 使用聚类和关联技术进行数据挖掘的老挝万象首都的社会经济家庭数据分析(湖南大学·PHONEPASEUTH VILAIPHONE)
- K-means聚类算法优化及其在电商平台精准营销中的应用研究(山东科技大学·韩琮师)
- 基于J2EE的数据挖掘系统的构建及聚类技术研究(天津大学·李国宇)
- 基于Hadoop的数据挖掘算法的研究与应用(华北电力大学·周理)
- 基于非负矩阵分解与聚类算法的推荐系统研究(北京工业大学·白涵)
- 基于k-means算法的云看护大健康服务平台的搭建与实现(北京邮电大学·刘欢)
- 农产品电子商务平台用户行为分析(安徽农业大学·吴波)
- 基于差分隐私K-means聚类算法的改进研究(广西大学·程琪)
- 面向音乐协同过滤推荐的K-means聚类算法优化研究(内蒙古师范大学·纪文璐)
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